\(\mathbf{1.}\:\:\)Neka su \(x\) i \(y\) realni brojevi takvi da je \(xy=1.\) Dokazati da tada vrijedi nejednakost
\begin{equation*}
x^{2}+y^{2}\geq 2\sqrt{2}\left( x-y\right)
\end{equation*}

\(\mathbf{2.}\:\:\) Odrediti sve trojke realnih brojeva \x,y,z\) za koje vrijedi
\begin{equation*}
4xyz-x^{4}-y^{4}-z^{4}=1
\end{equation*}

\(\mathbf{3.}\:\:\)Odredi realni broj \(m\) tako da rješenja \(x\) jednadžbe 

\begin{equation*}
\dfrac{x-m}{x+1}+\dfrac{x-1}{x+m}=2
\end{equation*}

zadovoljava uvjet \(\left\vert x\right\vert \leq 1.\)

\(\mathbf{4.}\:\:\) U trokutu \(ABC\) je \(\measuredangle A=\alpha =60\) a dužine \(\overline{BB'}\:\: i\:\:\overline{CC'}\left( B'\in \overline{AC},C'\in \overline{AB}\right)\) su visine tog trokuta. Točka \(M\) je polovište stranice \(\overline{BC}.\) Dokazati da je trokut \(\triangle MB^{\prime }C^{\prime }\) jednakostranični.

\(\mathbf{1.}\:\:\)Neka je \(a\) cijeli broj. Naći sva cjelobrojna rješenja jednadžbe
\begin{equation*}
3\left\vert x-1\right\vert +a\left\vert x-2\right\vert =2a+5-x
\end{equation*}

\(\mathbf{2.}\:\:\)Ako je \(x+y+z=\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}=1\), dokazati da je
\begin{equation*}
x^{3}+y^{3}+z^{3}=1
\end{equation*}

\(\mathbf{3.}\:\:\)Sjecištem dijagonala trapeza \(ABCD\) položena je paralela osnovici
trapeza i ona sječe krak \(\overline{AD}\) u točki \(P\), a krak \(\overline{BC}\) u točki \(Q.\) Ako su duljine osnovica \(a\) i \(c,\) kolika je duljina dužine \(\overline{PQ}?\)

\(\mathbf{4.}\:\:\)Dva natjecatelja uzimaju naizmjenice kuglice iz dvije kutije. Svaki natjecatelj, kada dođe na red, može uzeti iz bilo koje, ali samo jedne
kutije proizvoljan broj kuglica. pobjednik je onaj koji posljdnji uzme
kuglice. Kako treba igrati prvi igrač da pobjedi ako u jednoj kutiji ima \(111\), a u drugoj \(911\) kuglica?

ne postoji sadržaj

\(\mathbf{1.}\:\:\)Dan je sustav jednadžbi
\begin{eqnarray*}
mx-\left( m-2\right) y &=&1 \\
x+my &=&m
\end{eqnarray*}

pri čemu je \(m\) realan parametar.

\(\mathbf{a)}\:\:\) riješi uz diskusiju dani sustav jednadžbi

\(\mathbf{b)}\:\:\) za koje \(m\in R\) vrijedi \(x\geq y.\)

\(\mathbf{2.}\:\:\)Učenik je trebao pomnožiti \(78\) dvoznamenkastim brojem kojemu je
znamenka desetica tri puta veća od znamenki jedinica. On je greškom zamjenio
znamenke u drugom faktoru i tako dobio umnožak manji od traženog umnoška za \(2808.\)

Odredi točan umnožak.

\(\mathbf{3.}\:\:\) Za koje vrijednosti realnog parametra \(a\) jednadžba
\begin{equation*}
\left\vert 3-2\left\vert x\right\vert \right\vert =\dfrac{3a}{4}
\end{equation*}

ima točno tri rješenja?

\(\mathbf{4.}\:\:\)Na stranici \(\overline{AB}\) kvadrata \(ABCD\) dana je točka \(E\) takva da
je \(\left\vert AE\right\vert =3\left\vert EB\right\vert\). Na stranici \(\overline{AD}\) dana je točka\(F\) takva da je \(\left\vert AF\right\vert=5\left\vert FD\right\vert\) .

S \(K\) je označen presjek pravaca \(DE\) i \(CF\), a s \(L\) presjek pravaca \(DF\) i \(BE\). Dokaži da je zbroj površina trokuta \(EML\)
i \(CDK\) jednak zbroju površina trokuta  \(FLK\) i \(BMC\).