\(\mathbf{1.}\:\:\) Komad papira razrežemo na četiri dijela. Neke od dobivenih dijelova
ponovno raztržrmo na četiri dojela i tako nastavimo. Možemo li na ovaj način
dobiti 999 papirića?

\(\textbf{Napomena:}\:\:\)Zadatak je riješen ako je dato valjano obrazloženje rješenja.

\(\mathbf{2.}\:\:\) Dana je jednadžba
\begin{equation*}
\dfrac{mx+2}{mx-2}=\dfrac{x}{x+1}
\end{equation*}

pri čemu je \)m\) realan parametar.

\(\mathbf{a)}\:\:\) riješi (uz diskusiju) danu jednadžbu

\(\mathbf{b)}\:\:\) Za koje vrijednosti realnog parametra \(m\) rješenja \(x\) dane jednadžbe zadovoljavaju uvjet \(\left\vert x\right\vert \geq 1?\)

\(\mathbf{3.}\:\:\)Zadan je paralelogram \(ABCD.\) Nad stranicama \(\overline{AB},\overline{BC,}\overline{CD}\:\:i\:\:\overline{DA}\) konstruirani su kvadrati koji leže izvan

paralelograma. Središte paralelograma, središte bilo koje njegove stranice i
središte kvadrata konstruiranog nad tom stranicom, su vrhovi trokuta.

\(\mathbf{a)}\:\:\)]dokazati da su svi takvi trokuti sukladni!

\(\mathbf{b)}\:\:\)Dokazati da je četverokut čiji su vrhovi središta tih kvadrata kvadrat!

\(\mathbf{4.}\:\:\) Ako je \(x\) pozitivan broj takav da je \(x^{2}+\dfrac{1}{x^{2}}=7\)
odrediti \(x^{5}+\dfrac{1}{x^{5}}.\)

\(\mathbf{1.}\:\:\) Za koje vrijednosti realnog broja \(m\) rješenja sustava jednadžbi
\[x+\left( m+1\right) y =m\]\[\left( m+1\right) x+4my=m+1\]zadovoljavaju uvjet \(\left\vert x+y\right\vert \leq 1.\)

\(\mathbf{2.}\:\:\)Riješi u skupu cijelih brojeva jednadžbu
\[xy^{2}+3y^{2}-x=108.\]
\(\mathbf{3.}\:\:\)Dokazati, da ako je \(n\in N,n>1\), tada je

\[\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{9}+\dfrac{1}{16}+\cdots +\dfrac{1}{n^{2}}<1\].
\(\mathbf{4.}\:\:\) Nađi mjerne brojeve unutarnjih kutova trokuta kod kojeg visina i težišnica povučena iz istog vrha, dijele taj kut na tri jednaka dijela.

\(\mathbf{1.}\:\:\) Za koje vrijednosti realnog parametra \(a\) jednadžba
\[\left\vert 2x+3\right\vert +\left\vert 2x-3\right\vert =ax+6\]
ima barem dva rješenja?

\(\mathbf{2.}\:\:\) Zmaj ima \(n\) glava i dvostruko više očiju. Na svakoj glavi je barem po
jedno oko. Ako zmaj ima \(m\left( m<n\right)\) jednookih glava, dokazati da
ne postoji glava s \(m+3\) očiju.

\(\mathbf{3.}\:\:\) Nacrtaj skup svih točaka ravnine čije koordinate \(x\:\:i\:\:y\) zadovoljavaju
sustav nejednadžbi:
\[\left\vert x\right\vert +\left\vert y+3\right\vert\leq 3\]
\[\left\vert y\right\vert\leq x+1\]

\(\mathbf{4.}\:\:\) Dokazati, ako je \(0<x<1\), a \(n\) prirodan broj, tada je

\[\dfrac{1-x^{n+1}}{n+1}<\dfrac{1-x^{n}}{n}\]