Detalji

Hitova: 867

Jednadžbe kod kojih se nepoznanica nalazi u eksponentu potecije nazivaju se eksponencijalne jednadžbe.

Na primjer, jednadžbe
\[2^{x-1}=2^5,3^x=21,5°x-2^x=0\]
su eksponencijalne jednadžbe.

Eksponencijaln jednadžbe se samo iznino mogu riješiti elementarnim algebarskim postupcima ali ni tada ne postojiopća metoda primjenjiva na sve eksponencijalne jednadžbe.

Ovdje ćemo se baviti slijedečim tipovima eksponencijalih jednadžbi

\(\textbf{Tip 1.} \)  Jednadžbe koje se transformacijama mgu dovesti na oblik da su im obe strane potencije jednakih baza, odnosno oblik

\[a^{f(x)}=a^{g(x)},(o<a\neq 1)\quad\qquad(1)\]

Jednakost će postojati jedino ako su im jednaki i eksponenti,. Ovo proizilazi iz svojstva injektivnosti eksponencijalne jednadžbe.

\[a^{f(x)}=a^{g(x)}\Rightarrow f(x)=g(x)\]

odnosno, eksponencijalna jednadžba se svodi na algebasku jednadžbu (jednadkost eksponenata)

\(\textbf{Tip 2.} \)  Jednadžbe koje se transformacijama mgu dovesti na oblik 

\[a^{f(x)}=b,(o<a\neq 1)\quad\qquad(2)\]

Tada je moguće:

\(\textbf{a)  }b\leq0;\)  jednadžba nema rješenja jer je \(a^x>0\) za svaki realni broj \(x\),

\[a^{f(x)}=b,b\leq 0\:-\:\:\textbf{jednažba nema eješenje}\qquad (2a)\]

\(\textbf{b)  )  }b=a^n,n\in Z;\)  vrijrdi

\[a^{f(x)}=a^n\Rightarrow f(x)=n\qquad(2b)\]

\(\textbf{c)  )  }b\neq a^n,n\in Z;\)  jednadžbu riješavamo logarutmiranjem obiju strana po odabranoj bazi

\[a^{f(x)}=b/\log\]

\[\log a^{f(x)}=\log b\]

\[f(x)\log a=\log b\]

\[f(x)=\frac{\log b}{\log a}\quad(2c)\]