Detalji

Hitova: 1848

Dva pravca koja se sijeku odreðuju dva para vršnih neorjentiranih kutova. Ako pravci nisu okomiti mjera jednog od tiih parova kutova je veće od \(90°\) a drugog manja. Za kut između tih pravaca \(\varphi\) uzimamo onaj manji od \(9°\). Ako su pravci paralelni uzimamo da je \(\varphi=0\).. Dakle, vrijedi \(0°<\varphi\leq90°.\). 

Neka su data dva pravca 

\[p\ldots y=k_1x+l_1\]

\[q\ldots y=k_2x+l_2\]

Ako su \(\varphi_1\:i\:\varphi_2\) kutovi koje ti pravci zatvaraju s pozitivnom stranom x-osi, tada prema formuli \((8.3a)\) vrijedi

\[\tan\varphi_1=k_1\:\:i\:\:\tan\varphi_2=k_2\]

Neka je \(\alpha\) kut za koji treba zarotirati pravac \(p\) do poklapanja s pravcem \(q\), tada vrijedi

\[\tan \alpha =\tan( \varphi _{2}-\varphi _{1}) =\dfrac{\tan\varphi _{2}-\tan \varphi _{1}}{1+\tan \varphi _{1}\tan \varphi _{2}}=\dfrac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}\cdot k_{2}}\]

Ako je pri tome \(\alpha\) šiljasti kut tada je \(\varphi=\alpha\). Ako je, pak, \(\alpha\) veći od \(90°\) vrijedi

\[\tan\varphi=\tan(180°-\alpha)=-\tan\alpha=\vert\tan\varphi\vert\]

\(\underline{\overline{\textbf{-- Kut izmeðu pravaca --}}}\)

Kut \(\varphi\) izmeðu pravaca \(p\ldots y=k_{1}x+l_{1}\) i \(q\ldots y=k_{2}x+l_{2}\) računamo formulom
\[\tan \varphi =\left\vert \dfrac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}\right\vert\mspace{50mu}(8.6)\]

 Uvjet paralelnosti i okomitosti

Dva pravca će biti paralelni ko je kut između njih \(0°\), \(\tan 0°=0\) pa vrijedi

\[\tan \varphi =0\Rightarrow \dfrac{k_{2}-k_{1}}{1+k_{1}k_{2}}=0\]

Razlomak je jednak nuli ako mu je brojnik jednak nule, što vodi do 

\[k_2-k_l=0\Rightarrow k_1=k_2\]

a izi ovoga  

\[k_2-k_1=0\Rightarrow k_2=k_1\]

\(\underline{\overline{\textbf{-- Uvjet paralelnosti dva pravca --}}}\)

Dva pravaca \(p\ldots y=k_{1}x+l_{1}\) i \(q\ldots y=k_{2}x+l_{2}\) su paralelna ako i samo ako si im jednaki koeficijenti smjerova, odnosno vrijedi

\[p||q\Leftrightarrow k_1=k_2\mspace{50mu}(8.7a)\]

Kut izneđu komitij pravaca je \(\varphi=90°\),, odnosno pišemo \(tan\varphi=\pm\infty\). Za okomite pravce tada vrijedi \(\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\pm\infty\). Razlomak ne postoji, odnosno beskonačan je, ako mu nazivnik teži nuli, što vodi do 

\[\frac{k_2-k_1}{1+k_1k_2}=\pm\infty\Rightarrow 1+k_1k_2=0\]

odnosno 

\[1+k_1k_2=0\Rightarrow k_2=-\frac{1}{k_1}\]

što uzimamo kao uvjet okomitosti dva pravca. Vrijedi

\(\underline{\overline{\textbf{-- Uvjet okomitosti dva pravca --}}}\)

Dva pravaca \(p\ldots y=k_{1}x+l_{1}\) i \(q\ldots y=k_{2}x+l_{2}\) su paralelna ako i samo ako si im koeficijenti recipročni i suprotnih predznaka, odnosno vrijedi

\[p\bot q\Leftrightarrow k_2=-\frac{1}{k_1}\mspace{50mu}(8.7b)\]