Detalji

Hitova: 1563

Ako pravac prolazi točkom \(A(x_A,y_A)\)  tada koordinate točke zadovoljavaju jednadžbu  tog pravca, te ako je dat koeficijent smjera \(k\), možemo pisati

\[y=kx+l\]

\[y_A=kx_A+l\]

Oduzimanjem druge jednadžbe od prve dolazimo jednadžbe \(y-y_A=k(x-x_A)\) .

\(\mathbf{Jenadžba\: pravca\; kroz \:jednu \:točku}\)

 

\(\mathbf{Jenadžba\: pravca\; kroz \:jednu \:točku}\)

                      

Pravac koji prolazi točkom \(A(x_A,y_A)\) i ima zadat koeficijent smjera \(k\) ima jednadžbu

\[\mathbf{y-y_A=k(x-x_A\mspace{50mu} (8.3)}\]

 

 Pravac je potpuno određen s dvije svoje točke. Ako su točke \(A(x_A,y_A)\:i\:B(x_B,y_B)\) dvije točke pravca tada koordinate svake od njih ispunjavaju jednadžbu tog pravca, odnosno vrijedi;

\[y_B=kx_B+l\]

\[y_A=kx_A+l\]

oduzimanjem i sređivanjem možemo \(\mathbf{k}\) izraziti u obliku 

 

\(\mathbf{Koeficijent\:smjera}\)

\[y_B-y_A=k(x_B-x_A\]

\[\mathbf{k=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}\mspace{50mu} (8.3a)}\]

 

 Uvrštavanjem \((8.3a)\) u jednadžbu \((8.3)\) daje jednadžbu pravca kroz divje točke \(y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)\).

  

 

\(\mathbf{jednadžba\:pravca\:kroz\:dvije\:točke}\)

\[\mathbf{y-y_A=\frac{y_B-y_A}{x_B-x_A}(x-x_A)\mspace{50mu}(8.4)}\]

Detalji

Hitova: 1441

Ako je u jednadžbi \((8.1)\) koeficijent \(B\neq 0\) možemo je transformirati u oblik

 \[By=-Ax-C\]

i dijeleći s \(B\) prevesti u oblik

\[y=-\frac{A}{B}x-\frac{C}{B}\]

Uvodeći zamjenu \(k=-\frac{A}{B}\:\:i\:\:l=-\frac{C}{B}\) jednadžba prelazi u oblik \(y=kx+l\).

\(\mathbf{\mspace{10mu}Eksplicitni\:oblik\:jednadžbe\:pravca}\)

Ako pravac nije paralelan s osi ordinata, njegova se jednadžba može napisati u obliku

\[\mathbf{y=kx+l\mspace{50mu}(8.2)}\]

Ovu jednadžbu nazivamo \(\textbf{eksplicitni oblik jednadžbe pravca}\).

- koeficijent \(k\) u eksplicitnoj jednadžbi pravca nazivamo \(\textbf{koeficijent smjera}\),

-  a koeficijent \(l\) \(\textbf{odtezak na y-osi}\).

     

Detalji

Hitova: 1551

Pravac

Već znamo da linearna jednadžba oblika \(Ax+By+C=0\) ima beskonačno mnogo rješenja i da ih zapisujemo u obliku uređenih parpva  \((x,y)\) realnihbrojeva. Ta rješenja u koordinatnom sustavu predstavljaju pravac.

\(\text{Definicija 1.}\:\)Pravac  je skup svih točaka \(( x,y)\) u ravnini čije koordinate zadovoljavaju jednadžbu

\[Ax+By+C=0, \:\:(A,B,C\in R)\mspace{50mu}(8.1)\]

pri čemu je bar jedan od koeficijenata \(A,B\) različit od nule. Ova se jednadžba naziva \(\textbf{implicitni oblik jednadžbe pravca.}\)

    Posebni oblici    

U ovisnosti o koeficijentima jednadžbe (8.1) mogući su:

 \(\mathbf{I)\:\:A\neq0,\: B\neq 0,\:C=0}\)    

Jednažba je oblika \[Ax+By=0\]. Za \(x=0\:ili\:y=0\) kao rješenje imamo \((0,0)\) što znači da svi ovakvi pravci prolaze ishodištem koordinatnog sustava.

   \(\mathbf{II)\:\:A=0, B\neq 0}\)    

Jednadžba ima oblik 

\[By+C=0\]

Rješenje je \(y=-\frac{C}{B}\), i uvodeći oznaku \(-\frac{C}{B}=y_1\) imamo jednadžbu \(\mathbf{y=y_1}\). Ova jednadžba određuje točke ravnine s ordinatom \(y_1\) dok apscisa može biti bilo koji realni brojje. Takve točke leže na pravcu koji prolazi točkom \((0,y_1)\) i paralelan je s \(x-osi\).

   

 

\(\mathbf{III)\:\:A\neq 0, B= 0}\)   

Jednadžba ima oblik 

\[Ax+C=0\]

Rješenje je \(x=-\frac{C}{A}\), i uvodeći oznaku \(-\frac{C}{A}=x_1\) imamo jednadžbu \(\mathbf{x=x_1}\). Ovom jednadžbom date su točke ravnine s apscisom \(x_1\) dok ordinata može biti bilo koji realan broj. Te točke ležena pravcu koji prolazi točkom \((x_1,0)\) i paralelan s \(y-osi\)..