Riješi nejednadžbe:

 \[\frac{3^x}{3^x-1}-\frac{1}{3^x+1}\leq 0\]

\(\textbf{Rješenje:1) }\) Nejednadžba ima smisla kas su nazivnici raqzličiti od nule, odnosno kad su ispunjeni uvjeti: \(3^x-1\neq 0\:\:i\:\:3^x+1\neq 0\). Za prvi vrijedi \(3^x\neq 3^0\Rightarrow x\neq 0\), a drugi je uviek ispunjen jer je \(3^x+1\) veće od nule za svaki \(x\). Uz ove uvjete zbrojit ćemo desnu stranu\[\frac{3^x(3^x+1)-(3^x-1)}{(3^x-1)(3^x+1)}\leq 0\] što nakon sređivaanja daje \[\frac{3^{2x}+1}{3^{2x}-1}\leq 0\] Izraz u brojniku je uvijek veći od nule (već smo ranije komstatirali) tako da znak cijelog israza određuje predznak nazivnika, što nas vodi do nejednadžbe \(3^{2x}-1<0\). Zamjenom \(3^x=t\) dolazimo do nejednadžbe \(t^2-1<0\) kojoj je rješenje \(|t|<1\), odnosno \(-1<t<1\). Isto se može uočiti i geometrijski sa slike

Povratak na zamjenu daje
\[-1<3^x<1\]
Lijeva strana nejednakosti je uvijek točna pa ostaje samo \(3^x<1\), odnosno \(3^x<3^0\) što vodi do konačnog rješenja: \(\mathbf{x<0}.\clubsuit\)

Rješenje je: \(\color{red}{\mathbf{x<0}.\clubsuit}\).